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(EF08MA02) Resolver e elaborar problemas usando a relação entre potenciação e radiciação, para representar uma raiz como potência de expoente fracionário.

Melhore sua compreensão sobre Radiciação com esta seleção dos melhores exercícios envolvendo raízes.

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Radiciação

A radiciação é o cálculo de um número que elevado a um expoente produz o resultado inverso que se obtém na potenciação.

Ou em outras palavras, com a radiciação podemos encontrar a raiz enésima de um número “x”.

Quando o índice for igual a 2 (raiz quadrada), não é necessário representar o algarismo 2.

A potenciação e a radiciação são operações inversas. Assim, é fundamental saber a correção entre elas para poder resolvê-las.

$\sqrt[n]{a}=b\rightarrow b^n=a$

Exemplo 1

$\sqrt[2]{9}=3\rightarrow3^2=9$

Exemplo 2

$\sqrt[3]{8}=2\rightarrow2^3=8$

Exemplo 3

$\sqrt[4]{16}=2\rightarrow2^4=16$

Propriedades da radiciação

Raiz enésima de a elevado a n é igual a “a”

A raiz enésima de um numero a elevado a n será o próprio número a. Ou seja, quando o índice da raiz e o expoente foram números iguais, a raiz é o próprio radicando.

$\sqrt[n]{a^n}=a$

$\sqrt[4]{2^4}=2$

A raiz do produto é igual ao produto das raízes

O radicando formado pela multiplicação de dois números será igual ao produto das raízes destes números.

$\sqrt[n]{a . b}= \sqrt[n]{a} . \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[3]{3 . 2}= \sqrt[3]{3} . \sqrt[3]{2}$

A raiz do quociente é igual ao quociente das raízes

Esta propriedade é tal qual do produto, salvo o fato de ser neste caso divisão. Ou seja, o radicando sendo dois números que estão sendo divididos entre si, será igual ao quociente das raízes.

$\sqrt[n]{a : b}= \sqrt[n]{a} : \sqrt[n]{b}$

$\sqrt[3]{3 : 2}= \sqrt[3]{3} : \sqrt[3]{2}$

A mesma propriedade é válida para frações

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

Raiz da raiz

A raiz de uma raiz pode ser resolvida passo a Passo, ou ainda multiplicando o índice dessas raízes.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$

Potência de uma raiz

Quando uma raiz é elevada a um expoente x, o radicando também é elevado ao mesmo expoente.

$\left(\sqrt[n]{a}\right)^x=\sqrt[n]{a^x}$

Divisão e Multiplicação do expoente com o índice

Podemos dividir e multiplicar o expoente do radicando e o radical por um mesmo número

$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n:b]{a^{m:b}}$

$\sqrt[n]{a^m}=\sqrt[n\cdot b]{a^{m\cdot b}}$

Radiciação para potenciação

uma radiciação pode ser escrita na forma de potenciação

$\sqrt[n]{a^m}=a^\frac{m}{n}$

Simplificação de radicais

Para raízes não exatas, é possível simplificar o radical escrevendo-o da forma mais simples possível. Esta simplificação é feita fatorando o radicando.

Exemplo:

Determine a seguinte raiz: $\sqrt{242}$

$\begin{array} {r | l}242 & 02\\121 & 11\\11 & 11 \\1 & \\& \\& 2 . 11^{2}\end{array}$

Assim temos:

$\sqrt{242}=\sqrt{2 \cdot 11^2}$

e então:

$\sqrt{242}=\sqrt{2} \cdot \sqrt{11^2}$

E então resolvendo a raiz $\sqrt{11^2} = 11$

Temos por fim:

$\sqrt{242}=11\sqrt2$

Operações com radicais

Adição e Subtração

Quando temos o mesmo radical, conserva-se o radical e soma-se ou subtrai-se os coeficientes.

$2\sqrt3+3\sqrt3=5\sqrt3$

Quando o radical é diferente, não pode-se fazer a soma dos mesmos. Assim, pode-se, se necessário, encontrar o valor aproximado das raízes.

Divisão e Multiplicação

Se o radical tiver o mesmo índice, faz-se a operação de divisão ou multiplicação dos radicandos mantendo o radical.

$\sqrt[3]{2}\cdot\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{2\cdot3}=\sqrt[3]{6}$

Quando o radical é diferente, primeiro é necessário igualar os índices. Seja pela multiplicação ou divisão do radicando e o índice.

Exemplo:

$\sqrt[3]{2} \cdot\sqrt[2]{2}$

$\sqrt[3\cdot2]{{2}^2\ } \cdot \sqrt[2\cdot3]{2^3}$

$\sqrt[6]{{2}^2 \cdot 2^3}$

$\sqrt[6]{4 \cdot 8}$

$\sqrt[6]{32}$

Exercícios

Calcule as seguintes raízes:

$\sqrt[2] {100}$

$\sqrt {169}$

$\sqrt[3] {8}$

$\sqrt[2] {400}$

$\sqrt[3] {27}$

$\sqrt[3] {1000}$

$\sqrt[4] {81}$

$\sqrt[5] {-32}$

$\sqrt[2] {196}$

$\sqrt[4] {\dfrac{16}{625}}$

$\sqrt[2] {3 x 27}$

$\left( \sqrt{7}\right) ^{2}$

$\sqrt[3] {3} x \sqrt[3] {9}$

$\sqrt[2] {5^{2}}$

$\sqrt[3] {\dfrac{-8}{125}}$

$\sqrt[2] {x^{4}}$