Equação do 2º grau do tipo ax2 = b

(EF08MA09) Resolver e elaborar, com e sem uso de tecnologias, problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 2º grau do tipo ax² = b.

Equação do 2º grau
Equações do 2º grau incompletas
Resolução das equações de 2º grau incompletas

Equação do 2º grau

Uma equação do 2º grau é caracterizada por um polinômio de grau 2. Ou seja, uma expressão polinomial do tipo ax²+bx+c=0 em que $a$ , $b$ e $c$ são números reais ( $\mathbb{R}$ ).

A resolução da equação do 2º grau tem como objetivo encontrar os valores de $x$ que tornem a expressão igual a zero (0). Estes valores de $x$ são as raízes da equação.

O grau de uma equação e suas Raízes

Nas expressões polinomiais que possuem apenas uma variável, como o $x$ , por exemplo, na expressão $3\cdot x^{3}+2x^{4}+x-x^{2}=0$ , o maior expoente é o $4$ . Assim, este é um polinômio de grau 4 e possui 4 raízes.

Maior expoente $=1$ , é um polinômio do 1º grau, com apenas uma raiz e é representado pela expressão $a.x + b = 0$

Maior expoente $=2$ , é um polinômio do 2º grau, possui 2 raízes e é representado pela expressão $a.x^{2} + b.x + c = 0$

Quanto o maior expoente for igual a 3, é uma equação do 3º grau. Quando for igual a 4 é uma equação do 4º grau, e assim sucessivamente.

Observe ainda, que essas equações podem ser completas ou incompletas.

Equações do 2º grau incompletas

Se uma equação do 2º grau completa é caracterizada $a.x^{2} + b.x + c = 0$ , onde temos o maior expoente de $x$ igual a 2, uma equação do 2º grau incompleta será aquela em que os coeficientes “b” e/ou “c” serão iguais a zero ( $b=0$ e/ou $c=0$ . Note que o coeficiente “a” sempre deverá ser diferente de zero $a\neq 0$ . Pois caso o contrário ela deixará de ser uma equação do 2º grau.

$x^{2}=0$ é incompleta, pois $b=0$ e $c=0$
$x^{2}-9=0$ é incompleta, pois $b=0$
$x^{2} +5x=0$ é incompleta, pois $c=0$

Resolução das equações do 2º grau incompletas

A resolução de uma equação do 2º grau incompleta pode ser realizada por Bháskara, ou ainda quando o coeficiente $b=0$ , usando a resolução como uma expressão matemática.

Para $b=0$

Uma equação do 2º grau com coeficiente $b=0$ , é representada como $ax^{2}+c=0$ . A expressão $x^{2}-9=0$ é um exemplo.

Neste caso:
Coeficiente $a=1$
Coeficiente $b=0$
Coeficiente $c=-9$

E a sua resolução é dada por:

$x^{2}-9=0$

$x^{2}=9$

$x=\sqrt{9}$

$x= \pm 3$

As raízes desta equação do 2º grau $x^{2}-9=0$ são -3 e 3, e sua representação gráfica é:

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Para $c=0$

A resolução de uma equação do 2º grau com coeficiente $c=0$ , é representada como $ax^{2}+bx=0$ . A expressão $x^{2} +5x=0$ é um exemplo, e a sua resolução requer a aplicação da fórmula de Bháskara, ou ainda pode ser resolvida por meio da soma e produto.

Neste caso:
Coeficiente $a=1$
Coeficiente $b=5$
Coeficiente $c=0$

Fazendo a resolução por Bháskara teremos:

$\dfrac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}$

$\dfrac{-5\pm \sqrt{5^{2}-4.1.0}}{2.1}$

$\dfrac{-5\pm \sqrt{25}}{2}$

$x_{1} = \dfrac{-5\pm 5}{2}\rightarrow \dfrac{-5+5}{2}=\dfrac{0}{2}=0$

$x_{2} = \dfrac{-5\pm 5}{2}\rightarrow \dfrac{-5-5}{2}=\dfrac{10}{2}=-5$

As raízes desta equação do 2º grau incompleta ( $x^{2} +5x=0$ ) iguais a $x_{1}=0$ e $x_{2}=-5$ e sua representação gráfica será:

Para $b=0$ e $c=0$

A resolução de uma equação do 2º grau com os coeficientes $b=0$ e $c=0$ , é zero, pois como $ax^{2}=0$ , tanto na resolução pela fórmula de Bháskara, ou ainda pode ser resolvida por meio da soma e produto encontraremos as raízes de $x=0$ .

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Resolução

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Fernando Pitt

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